Equações Diferenciais - Exercício Resolvido

Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos.
Determine:
a) uma expressão para o nº de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t; e
b) o número de núcleos inicialmente existentes.

Resolução:
1º passo

N(t) = ce^kt

1000 = ce^k.1

c = 1000/e^k

2º passo

N(1) = 1000

N(4) = 3000

3000 = 1000/e^k * e^4k

3000 = 1000 * e^3k

e^3k = 3

passa o ln:

ln e^3k  = ln 3

3k = 1,099

k = 0,366

3º passo:

c = 1000/e^0,366

c = 694

Resposta a) N(t)=694e^0,366t

N(0)  = 694e^0,366*0

Resposta b) N(0)=694

Equações Diferenciais - Redução de Ordem - Exercício Resolvido

Dado y₁, descobrir y₂ da seguinte equação:

y”+4y’+4y=0

y₁ = e^-2x derivar 2 vezes

y’₁ = -2e^-2x

y”₁ = 4e^-2x

Substituir na equação os resultados encontrados para verificar se o y dado é verdadeiro.

4e^-2x+(4).-2e^-2x+4e^-2x =0, portanto, verdadeiro!

Agora, para o outro y:

y₂(x) = u(x).y₁

Deixamos x de lado.

y₂ = u. e^-2x

y’₂ = -2ue^-2x + u’e^-2x

y”₂ = 4ue^-2x -4u’e^-2x +u”e^-2x

Substituindo na equação:

4ue^-2x -4u’e^-2x +u”e^-2x-8ue^-2x + 4u’e^-2x+4ue^-2x = 0

u”e^-2x = 0; Agora vem uma parte bem intuitiva:

u”=0

u’=c₁

u=c₁x + c₂

Se c₁=1 e c₂=0, u(x) = x, veja [u(x)=1x + 0]

Originalmente, y₂(x) = u(x).y₁, e, u(x) = x, então:

y₂(x) = xe^-2x

Solução geral:

y(x) = Ae^-2x + Bxe^-2x