7. O refinamento iterativo é utilizado normalmente em conjunto com a fatoração LUP, a fim de melhorar a qualidade numérica da solução obtida resolvendo-se os sistemas Ly = Pb e Ux = y. Mostre como o resíduo r = b - Ax, utilizado no refinamento iterativo, deve ser calculado uma vez que A tenha sido fatorada como PA = LU.
Observe que A=PLU; logo, pode-se escrever r = b - (PLU)x . Escrevendo essa expressão utilizando a propriedade associativa do produto entre matrizes e vetores, vem r = b - PL(Ux) = b - P(L(Ux)). Introduzindo os vetores auxiliadores v = Ux e w = Lv, escreve-se r = b - Pw. Mas, como a matriz P não é formada explicitamente, os elementos do vetor resíduo podem ser obtidos como r(i) = b(i) - w(p(i)) i = 1, 2,..., n.
Observe que A=PLU; logo, pode-se escrever r = b - (PLU)x . Escrevendo essa expressão utilizando a propriedade associativa do produto entre matrizes e vetores, vem r = b - PL(Ux) = b - P(L(Ux)). Introduzindo os vetores auxiliadores v = Ux e w = Lv, escreve-se r = b - Pw. Mas, como a matriz P não é formada explicitamente, os elementos do vetor resíduo podem ser obtidos como r(i) = b(i) - w(p(i)) i = 1, 2,..., n.
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