12. A altitude e a velocidade alcançadas por um foguete de um estágio podem ser modeladas pelo seguinte sistema:
onde
é o impulso específico do motor do foguete (medido em segundos), g é a aceleração da gravidade, m0 é a massa inicial do foguete (incluindo o propelente, em kg), mbo é a massa do foguete (em kg) quando todo o propelente foi consumido (no tempo tbo), R = 6,378x10^6m é o raio da Terra, CD é o coeficiente de arrasto, A é a área da seção transversal do foguete e ρ(h) é a densidade do ar em função da altitude h (fórmula válida para h く 100km).
Observe, pelas equações, que a velocidade deve aumentar ao longo do tempo, já que: a massa do foguete diminui, à medida que o propelente vai sendo queimado; o efeito da atração gravitacional da Terra diminui, à medida que o foguete se afasta da superfície da Terra; e, da mesma forma, a densidade do ar diminui.
Calcule a altitude e a velocidade após t = tbo segundos de voo de um foguete, alcançadas para os dois casos abaixo:
O que se pode concluir?
Usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, com h=0,01, obtemos: a) z(4,9999) = 2.897,7536m e v(4,9999) = 1.310,6032m/s; b) z(4,9999) = 5.176,6672m e v(49,9999) = 2.671,3062m/s. Pode-se concluir que, diminuindo-se pela metade a massa do foguete após a queima do propelente, consegue-se alcançar aproximadamente o dobro de altitude e de velocidade até t = tbo.
Os gráficos abaixo ilustram as duas situações:
onde
é o impulso específico do motor do foguete (medido em segundos), g é a aceleração da gravidade, m0 é a massa inicial do foguete (incluindo o propelente, em kg), mbo é a massa do foguete (em kg) quando todo o propelente foi consumido (no tempo tbo), R = 6,378x10^6m é o raio da Terra, CD é o coeficiente de arrasto, A é a área da seção transversal do foguete e ρ(h) é a densidade do ar em função da altitude h (fórmula válida para h く 100km).
Observe, pelas equações, que a velocidade deve aumentar ao longo do tempo, já que: a massa do foguete diminui, à medida que o propelente vai sendo queimado; o efeito da atração gravitacional da Terra diminui, à medida que o foguete se afasta da superfície da Terra; e, da mesma forma, a densidade do ar diminui.
Calcule a altitude e a velocidade após t = tbo segundos de voo de um foguete, alcançadas para os dois casos abaixo:
O que se pode concluir?
Usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, com h=0,01, obtemos: a) z(4,9999) = 2.897,7536m e v(4,9999) = 1.310,6032m/s; b) z(4,9999) = 5.176,6672m e v(49,9999) = 2.671,3062m/s. Pode-se concluir que, diminuindo-se pela metade a massa do foguete após a queima do propelente, consegue-se alcançar aproximadamente o dobro de altitude e de velocidade até t = tbo.
Os gráficos abaixo ilustram as duas situações:
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