11. O movimento de uma bomba lançada de um avião com aceleração gravitacional constante e resistência do ar proporcional ao quadrado da sua velocidade, no plano x - z (com o eixo z apontando verticalmente para cima), pode ser expresso pelo seguinte conjunto de equações:
onde k é uma constante que mede a resistência do ar e g = 9,80665m⁄s². Calcule o valor de t para o qual z(t) = 0, determinando o alcance da bomba, i.e. o deslocamento x(t). Utilize k = 0,001 e considere que o lançamento da bomba é feito em voo nivelado, a uma velocidade de 500km/h(≊ 138,88 m/s) e altitude de 10.000 pés (3048 m).
Inicialmente, deve-se transformar esse sistema de EDOs de 2ª ordem para um sistema de EDOs de 1ª ordem. Introduzindo as variáveis y1 = x, y2 =x', y3 = z, y4 = z', obtemos
De acordo com o enunciado do problema, os valores iniciais para as variáveis do sistema acima são: y1 = 0, y2 = 138,88, y3 = 3048, y4 = 0. Utilizando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, com h=0,025 e t1 = 40, obtemos o seguinte gráfico:
Inspecionando os resultados obtidos com a simulação, vemos que em t = 39,35, y3 = z = 1.0384542 e em t = 39,375, temos y3 = z = -1.4202431. Calculando a equação da reta que passa pelos pontos (x,y) = (y1,y3) nesses dois valores de t, podemos calcular a intersecção da reta com o eixo z = 0, obtendo o alcance x = 1398,574343m. Para se determinar o tempo de impacto com o solo, calcula-se o problema de interpolação linear com os pares (t,z) e, calculando-se a intersecção com o eixo z = 0, obtém-se t = 39,36051622.
onde k é uma constante que mede a resistência do ar e g = 9,80665m⁄s². Calcule o valor de t para o qual z(t) = 0, determinando o alcance da bomba, i.e. o deslocamento x(t). Utilize k = 0,001 e considere que o lançamento da bomba é feito em voo nivelado, a uma velocidade de 500km/h(≊ 138,88 m/s) e altitude de 10.000 pés (3048 m).
Inicialmente, deve-se transformar esse sistema de EDOs de 2ª ordem para um sistema de EDOs de 1ª ordem. Introduzindo as variáveis y1 = x, y2 =x', y3 = z, y4 = z', obtemos
De acordo com o enunciado do problema, os valores iniciais para as variáveis do sistema acima são: y1 = 0, y2 = 138,88, y3 = 3048, y4 = 0. Utilizando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, com h=0,025 e t1 = 40, obtemos o seguinte gráfico:
Inspecionando os resultados obtidos com a simulação, vemos que em t = 39,35, y3 = z = 1.0384542 e em t = 39,375, temos y3 = z = -1.4202431. Calculando a equação da reta que passa pelos pontos (x,y) = (y1,y3) nesses dois valores de t, podemos calcular a intersecção da reta com o eixo z = 0, obtendo o alcance x = 1398,574343m. Para se determinar o tempo de impacto com o solo, calcula-se o problema de interpolação linear com os pares (t,z) e, calculando-se a intersecção com o eixo z = 0, obtém-se t = 39,36051622.
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