8. Calcule
com a quadratura de Gauss-Legendre (n=5).
Observe o gráfico abaixo e que
logo, devemos determinar um valor de x para a partir do qual a integral possa ser aproximada por uma constante.
Por exemplo, usando um programa em Fortran 90 com precisão simples, obtemos a seguinte tabela de valores:
Podemos, então, dizer que a área sob a curva, a partir de x=100, é praticamente nula, o que nos leva a supor que basta usar um limite superior de integração para o qual seja suficientemente grande o valor numérico do integrando. A tabela abaixo mostra os valores da integral substituindo o limite superior de integração por b:
Os valores acima indicam que “alguma coisa” está errada! O valor da integral não pode diminuir, já que o integrando é estritamente positivo para x≥0. Por outro lado, a área deve ser um valor menor do que 1; logo, pela tabela acima, vemos que para x=10, o valor obtido com a quadratura de Gauss-Legendre, com 5 nós, não é adequado. Calculando o valor da quadratura para outros valores de b, menores do que 10, obtemos:
O problema, agora, é que não sabemos qual valor considerar como uma boa aproximação! Infelizmente, o número de nós é que é insuficiente. Se usarmos n=32, obtemos o valor 9,065673×10^-1 como aproximação da integral, usando b=10; esse valor apresenta um erro relativo da ordem de 10^-6para o valor da integral.
com a quadratura de Gauss-Legendre (n=5).
Observe o gráfico abaixo e que
Por exemplo, usando um programa em Fortran 90 com precisão simples, obtemos a seguinte tabela de valores:
Podemos, então, dizer que a área sob a curva, a partir de x=100, é praticamente nula, o que nos leva a supor que basta usar um limite superior de integração para o qual seja suficientemente grande o valor numérico do integrando. A tabela abaixo mostra os valores da integral substituindo o limite superior de integração por b:
Os valores acima indicam que “alguma coisa” está errada! O valor da integral não pode diminuir, já que o integrando é estritamente positivo para x≥0. Por outro lado, a área deve ser um valor menor do que 1; logo, pela tabela acima, vemos que para x=10, o valor obtido com a quadratura de Gauss-Legendre, com 5 nós, não é adequado. Calculando o valor da quadratura para outros valores de b, menores do que 10, obtemos:
O problema, agora, é que não sabemos qual valor considerar como uma boa aproximação! Infelizmente, o número de nós é que é insuficiente. Se usarmos n=32, obtemos o valor 9,065673×10^-1 como aproximação da integral, usando b=10; esse valor apresenta um erro relativo da ordem de 10^-6para o valor da integral.
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