segunda-feira, 30 de dezembro de 2013

Equações Diferenciais - Redução de Ordem

Dado y1, descobrir y2 da seguinte equação:

y”+4y’+4y=0

y1 = e-2x derivar 2 vezes
y’1 = -2e-2x
y”1 = 4e-2x

Substituir na equação os resultados encontrados para verificar se o y dado é verdadeiro.

4e-2x+(4).-2e-2x+4e-2x =0, portanto, verdadeiro!

Agora, para o outro y:

y2(x) = u(x).y1

Deixamos x de lado.

y2 = u. e-2x
y’2 = -2ue-2x + u’e-2x
y”2 = 4ue-2x -4u’e-2x +u”e-2x

Substituindo na equação:

4ue-2x -4u’e-2x +u”e-2x-8ue-2x + 4u’e-2x+4ue-2x = 0

u”e-2x = 0; Agora vem uma parte bem intuitiva:

u”=0
u’=c1
u=c1x + c2

Se c1=1 e c2=0, u(x) = x, veja [u(x)=1x + 0]

Originalmente, y2(x) = u(x).y1, e, u(x) = x, então:

y2(x) = xe-2x

Solução geral:


y(x) = Ae-2x + Bxe-2x

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