1. Calcule, através do método de Newton-Raphson, todas as raízes reais da função f(x) = e^sin(x) - 2cos(3x) no intervalo [-5;5].
Existem cinco raízes reais nesse intervalo. Usando o método de Newton-Raphson com ɛ =10^-5, ß=10^-5, kmax=20, obtemos os seguintes resultados, para as estimativas iniciais tabuladas:
x0 raiz k
-3.0 -2.523373 6
-1.74 -1.632580 3
-0.9 2.828869×10-1 5
0.25 0.2828868×10-1 2, |xk+1-xk|<ß
4.0 3.759811 3
2. Calcule as intersecções da curva y = (x-1)² (x+1)² + 1/4 com o círculo unitário centrado na origem, usando o método da bissecção.
Devem ser determinadas as raízes de (x-1)² (x+1)² + 1/4 - raiz(1-x²) = 0, as quais são em número de 4. Usando o método da bissecção com ɛ = 10^-5, ß=10^-5, kmax=20, obtemos os seguintes resultados:
Intervalo inicial raiz k
[-1.0;0.5] -0.9671593 17
[-0.5;-0.25] -0.4424591 14
[0.25;0.5] 0.4424591 14
[0.5;1.0] 0.9671593 17
Evidentemente, como elas ocorrem em pares dispostos simetricamente em torno do eixo Y, bastaria calcular as duas primeiras raízes, por exemplo.
3.Calcule as intersecções das curvas f = e^1/(x-3)³ e g = (x-3)³ + 2 utilizando o método de Newton-Raphson.
Evidentemente há uma descontinuidade em x=1. Fazendo o gráfico de f(x)-g(x), temos
e pode-se perceber que há uma raiz entre 2 e 3. Usando como estimativa inicial x0 = 2.66, obtemos o valor 2.275336 como aproximação para a raiz, em 7 iterações.
4. Calcule as três primeiras raízes positivas de sin(x) - 2/x cos x = 0 usando o método de Newton-
Raphson. Após, repita para tan x - 2/x = 0 e explique quaisquer diferenças que tenham ocorrido.
Usando ɛ = 10^-5, ß=10^-6, kmax=20, temos, para o primeiro caso:
x0 raiz k
0.5 1.076871 4
3.0 3.643597 3
5.5 6.578330 4
Já para o segundo caso, temos:
x0 raiz k
0.5 1.076871 4
3.0 3.643597 3
5.5 6.578334 3
A diferença é apenas na sexta casa decimal, dessa maneira, não ocorrem diferenças sensíveis para esses valores iniciais. Teste também com outros valores iniciais e verifique se ocorrem problemas.
5. Considere a função f(x) = sin x e a sua expansão em série de Taylor, x - x³/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! + 0(x^10). Agora, compare a avaliação de f '(x) em x = π/4 e em x = 3π/2 usando:
a) a derivada da série, truncada em quatro termos;
b) a aproximação da derivada por (f (x+h) - f (x))/h, com h = 10^-4 e h = 10^-8 e
c) a aproximação da derivada por (f (x) - f (x-h))/h, com h = 10^-4 e h = 10^-8 e
d) a aproximação da derivada por (f (x+h) - f (x-h))/(2h), com h = 10^-4 e h = 10^-8.
O que se pode dizer a respeito?
Calculando a derivadas e as aproximações em diferenças finitas, em precisão simples
(32 bits), obtemos:
Como f '(π/4) = 0,707107 e f '(3π/2) = 1,192488*10^-8, se pode concluir que, para x = π/4, os erros relativos são todos adequados, da ordem de 10^-5. No entanto, para x = 3π/2, a aproximação pela derivada da série de Taylor produz um resultado errado (já que ela só converge para o resultado exato quando x < 1); ao mesmo tempo, observa-se que as aproximações em diferenças finitas produzem resultados adequados. Além disso, pode-se confirmar que a aproximação pelo esquema central, (f (x+h) - f (x-h))/(2h), sempre produz um resultado de melhor qualidade numérica.
6. Calcule as raízes de (x-0,6).(x-0,3)².(x-2)³ + 0,01234 ln(x) = 0 combinando o método da bisseccção com o método de Newton-Raphson com aproximação numérica da derivada; o método da bissecção deverá ser usado até que o comprimento do intervalo de busca seja menor do que 10^-3, quando então o método de Newton-Raphson deverá passar a ser usado, até que uma raiz seja encontrada, tal que|f(x)|<10^-6.
Usando o método da bissecção sobre o intervalo de busca [1.0;2.5], obtemos, em oito iterações, o valor 2.201172 como uma aproximação para a raiz. Usando esse valor como estimativa para o método de Newton-Raphson, com ɛ = 10^-6, ß=10^-6, kmax=20, obtemos em apenas 2 iterações o valor 2.196351 como aproximação para a raiz. Como o método da bissecção realiza 2+k avaliações da função, e o método de Newton-Raphson com aproximação numérica da derivada realiza uma avaliação da função a cada iteração, temos um total de 2+8+2 = 12 avaliações da função.
Se usássemos somente o método de Newton-Raphson com aproximação numérica da derivada, tomando como estimativa inicial x0=1.75 (o ponto médio do intervalo de busca), haveria convergência em 6 iterações. No entanto, se usássemos x0 = 1.0, ocorreria um erro na avaliação da função na 13ª iteração, com x13=-2.549454×10^-2.
7. Calcule todas as raízes (inclusive as complexas) de x^4 - 1.73x² + 0.46x + 1.275 = 0.
Aplicando a regra de Descartes para o polinômio acima, conclui-se que há, no máximo, 2 raízes reais positivas e 2 raízes reais negativas. As regras de Du Gua e da Lacuna não nos permitem chegar a qualquer conclusão a respeito da existência de raízes complexas. Como o polinômio é de quarto grau, temos as seguintes possibilidades, quanto às suas raízes:
A cota de Kojima nos diz que as raízes estão contidas num disco de raio menor ou igual a 2,377913569. Fazendo o gráfico da função no intervalo -2,377913569≤x≤2,377913569 verificamos que não há raízes reais, e o gráfico de curvas de contorno da função associada |p(z)|,z∈ℂ (calculado na região -1,5≤x,y≤1,5) nos dá uma indicação de onde se encontram as raízes complexas:
Usando o método de Newton-Raphson com aritmética complexas e ɛ = 10^-5, ß=10^-6, kmax=20 e as estimativas iniciais abaixo, obtemos as raízes a seguir:
Existem cinco raízes reais nesse intervalo. Usando o método de Newton-Raphson com ɛ =10^-5, ß=10^-5, kmax=20, obtemos os seguintes resultados, para as estimativas iniciais tabuladas:
x0 raiz k
-3.0 -2.523373 6
-1.74 -1.632580 3
-0.9 2.828869×10-1 5
0.25 0.2828868×10-1 2, |xk+1-xk|<ß
4.0 3.759811 3
2. Calcule as intersecções da curva y = (x-1)² (x+1)² + 1/4 com o círculo unitário centrado na origem, usando o método da bissecção.
Devem ser determinadas as raízes de (x-1)² (x+1)² + 1/4 - raiz(1-x²) = 0, as quais são em número de 4. Usando o método da bissecção com ɛ = 10^-5, ß=10^-5, kmax=20, obtemos os seguintes resultados:
Intervalo inicial raiz k
[-1.0;0.5] -0.9671593 17
[-0.5;-0.25] -0.4424591 14
[0.25;0.5] 0.4424591 14
[0.5;1.0] 0.9671593 17
Evidentemente, como elas ocorrem em pares dispostos simetricamente em torno do eixo Y, bastaria calcular as duas primeiras raízes, por exemplo.
3.Calcule as intersecções das curvas f = e^1/(x-3)³ e g = (x-3)³ + 2 utilizando o método de Newton-Raphson.
Evidentemente há uma descontinuidade em x=1. Fazendo o gráfico de f(x)-g(x), temos
4. Calcule as três primeiras raízes positivas de sin(x) - 2/x cos x = 0 usando o método de Newton-
Raphson. Após, repita para tan x - 2/x = 0 e explique quaisquer diferenças que tenham ocorrido.
Usando ɛ = 10^-5, ß=10^-6, kmax=20, temos, para o primeiro caso:
x0 raiz k
0.5 1.076871 4
3.0 3.643597 3
5.5 6.578330 4
Já para o segundo caso, temos:
x0 raiz k
0.5 1.076871 4
3.0 3.643597 3
5.5 6.578334 3
A diferença é apenas na sexta casa decimal, dessa maneira, não ocorrem diferenças sensíveis para esses valores iniciais. Teste também com outros valores iniciais e verifique se ocorrem problemas.
5. Considere a função f(x) = sin x e a sua expansão em série de Taylor, x - x³/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! + 0(x^10). Agora, compare a avaliação de f '(x) em x = π/4 e em x = 3π/2 usando:
a) a derivada da série, truncada em quatro termos;
b) a aproximação da derivada por (f (x+h) - f (x))/h, com h = 10^-4 e h = 10^-8 e
c) a aproximação da derivada por (f (x) - f (x-h))/h, com h = 10^-4 e h = 10^-8 e
d) a aproximação da derivada por (f (x+h) - f (x-h))/(2h), com h = 10^-4 e h = 10^-8.
O que se pode dizer a respeito?
Calculando a derivadas e as aproximações em diferenças finitas, em precisão simples
(32 bits), obtemos:
Como f '(π/4) = 0,707107 e f '(3π/2) = 1,192488*10^-8, se pode concluir que, para x = π/4, os erros relativos são todos adequados, da ordem de 10^-5. No entanto, para x = 3π/2, a aproximação pela derivada da série de Taylor produz um resultado errado (já que ela só converge para o resultado exato quando x < 1); ao mesmo tempo, observa-se que as aproximações em diferenças finitas produzem resultados adequados. Além disso, pode-se confirmar que a aproximação pelo esquema central, (f (x+h) - f (x-h))/(2h), sempre produz um resultado de melhor qualidade numérica.
6. Calcule as raízes de (x-0,6).(x-0,3)².(x-2)³ + 0,01234 ln(x) = 0 combinando o método da bisseccção com o método de Newton-Raphson com aproximação numérica da derivada; o método da bissecção deverá ser usado até que o comprimento do intervalo de busca seja menor do que 10^-3, quando então o método de Newton-Raphson deverá passar a ser usado, até que uma raiz seja encontrada, tal que|f(x)|<10^-6.
Usando o método da bissecção sobre o intervalo de busca [1.0;2.5], obtemos, em oito iterações, o valor 2.201172 como uma aproximação para a raiz. Usando esse valor como estimativa para o método de Newton-Raphson, com ɛ = 10^-6, ß=10^-6, kmax=20, obtemos em apenas 2 iterações o valor 2.196351 como aproximação para a raiz. Como o método da bissecção realiza 2+k avaliações da função, e o método de Newton-Raphson com aproximação numérica da derivada realiza uma avaliação da função a cada iteração, temos um total de 2+8+2 = 12 avaliações da função.
Se usássemos somente o método de Newton-Raphson com aproximação numérica da derivada, tomando como estimativa inicial x0=1.75 (o ponto médio do intervalo de busca), haveria convergência em 6 iterações. No entanto, se usássemos x0 = 1.0, ocorreria um erro na avaliação da função na 13ª iteração, com x13=-2.549454×10^-2.
7. Calcule todas as raízes (inclusive as complexas) de x^4 - 1.73x² + 0.46x + 1.275 = 0.
Aplicando a regra de Descartes para o polinômio acima, conclui-se que há, no máximo, 2 raízes reais positivas e 2 raízes reais negativas. As regras de Du Gua e da Lacuna não nos permitem chegar a qualquer conclusão a respeito da existência de raízes complexas. Como o polinômio é de quarto grau, temos as seguintes possibilidades, quanto às suas raízes:
Usando o método de Newton-Raphson com aritmética complexas e ɛ = 10^-5, ß=10^-6, kmax=20 e as estimativas iniciais abaixo, obtemos as raízes a seguir:
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